Многогранники: элементтері симметрия және ауданы

әрқашан неге және қандай Сіз қалай ойлайсыз, анық емес алгебра, айырмашылығы, көрнекі нысан береді, өйткені. Геометрия әдемі түрлі органдардың осы тамаша әлемдік тұрақты многогранники сәнін келтіруде.

многогранники туралы жалпы ақпарат

көптеген, тұрақты многогранники айтуынша, немесе олар Платон денелері деп атайды, бірегей қасиеттерге ие. Бұл нысандар бірнеше ғылыми гипотезаны байланысты бар. Сіз органның геометриялық деректерді оқуға бастайды кезде, сіз дерлік тұрақты полиэдров сияқты тұжырымдамасы туралы ештеңе білмейді деп түсінеміз. мектепте осы объектілердің тұсаукесері әрдайым қызық емес, сондықтан көптеген тіпті олар деп аталатын қандай есімде жоқ. адамдардың көпшілігі еске бұл жай ғана текше болып табылады. дене геометрия ешқайсысы тұрақты многогранники сияқты кемелділікті ие емес. Осы геометриялық органдарының барлық атаулары ежелгі Грекияда шыққан. - төрт-жақты, hexahedron - Аллен, октаэдра - Octagon, он екі қырлы - dodecahedral, икосаэдре - икосаэдрических тетраэдр: Олар қырларының санын білдіреді. Осы геометриялық дененің барлық Әлемнің Платонның тұжырымдамасына маңызды орын алады. Олардың төртеуі элементтерін немесе ұйымдар нақтылы: тетраэдр - өрт, икосаэдре - су текше - жер, октаэдра - ауа. Он екі қырлы бәрін айналдыруы. Ол Әлемнің символы ретінде, негізгі саналған.

многогранника тұжырымдамасын қорыту

Көпжақ сияқты, бұл полигондар соңғы жинағы болып табылады:

• полигондарын кез келген жағынан әр бірдей жағында басқа полигонының сол уақыт тек бір жағында болып табылады;
• полигондарын әр сіз көпбұрыштар оған іргелес өтетін басқа жүре аласыз.

қабырғасының - Көпжақ құрайтын Polygons оның бет-әлпеті мен олардың жанама білдіреді. полиэдров шыңдары полигондар шыңдары болып табылады. мерзімді полигон тегіс жабық полилинии түсіну болса, онда көп қырлы бір анықтау келеді. осы термин үзік сызықтармен шектелген жазықтық бөлігін білдіреді жағдайда, ол көпбұрышты дана тұратын бетін түсінген болады. Дөңес многогранник оның қырларының іргелес ұшақтың бір жағына жатып дене, деп аталады.

Тағы бір многогранника анықтамасы және оның элементтері

Көпжақ геометриялық денені шектейді, ол полигондарын тұратын бетін шақырды. Олар:

• емес дөңес;
• дөңес (дұрыс пен бұрысты).

Тұрақты полиэдра - барынша симметрия бар дөңес многогранник болып табылады. тұрақты Многогранников элементтері:

• Тетраэдр: 6 қабырғалары 4 беттері 5 шыңдары;
• hexahedron (текше) 12, 6, 8;
• 30, 12, 20 он екі қырлы;
• октаэдра 12, 8, 6;
• икосаэдре 30, 20, 12.

Эйлер теоремасы

Ол шетінен, биіктерге және қырларының саны арасындағы қарым-қатынас саласына топологически барабар белгілейді. Биіктерге және қырларының саны (B + D) әр түрлі тұрақты многогранники бар және қабырғаның саны оларды салыстыру қосу, ол бір ережені орнатуға болады: шыңы мен жиектер санына тең қырларының санының сомасы (P) 2. -ға өсті, бұл қарапайым формуланы болады:

• B + D = P + 2.

Бұл формула барлық дөңес многогранников үшін жарамды болып табылады.

негізгі анықтамалар

тұрақты многогранника тұжырымдамасы бір сөйлемде сипаттау мүмкін емес. Ол көп бағаланатын және көлемі. мұндай ретінде танылуы үшін дене, ол анықтамалар бірқатар сай қажет. Осы шарттар сақталмаған кезде Осылайша, геометриялық дене тұрақты полиэдра болады:

• ол дөңес болып табылады;
• қабырғаның сол саны, оның шыңы әрбір шелер;
• оның барлық қырлары - бір-бірімен тең тұрақты көпбұрыштар;
• Барлық диэдральный бұрыштары тең.

тұрақты Многогранников сипаттары

тұрақты Многогранников 5 түрлі түрлері бар:

1. Cube (hexahedron) - бұл жазық APEX бұрышы 90 ° табылады бар. Ол 3-жақты бұрыш бар. Сома бет 270 ° шыңында бұрыштары.
2. Тетраэдр - 60 ° - жазық шыңы бұрышы. Ол 3-жақты бұрыш бар. 180 ° - сомасы бет шыңында бұрыштары.
3. Октаэдра - 60 ° - жазық шыңы бұрышы. Ол төрт-жақты бұрыш бар. 240 ° - сомасы бет шыңында бұрыштары.
4. Он екі қырлы - 108 ° жазық шыңы бұрышы. Ол 3-жақты бұрыш бар. 324 ° - сомасы бет шыңында бұрыштары.
5. Икосаэдре - 60 ° - бұл тегіс шыңы бұрышы бар. Ол бес-жақты бұрыш бар. Сома бет 300 ° шыңында бұрыштары.

тұрақты Многогранников ауданы

геометриялық органдар (S) бетінің ауданы қырлары (G) санына көбейтілген тұрақты полигон алаңы ретінде есептеледі:

• S = (а: 2) 2G ҚТГ- π / P х.

тұрақты многогранника көлемі

Бұл мән базалық тұрақты полигон тұрақты пирамида, қырларының саны көлемін көбейту арқылы есептеледі, және оның биіктігі саласындағы (R) және жазылған радиусы болып табылады:

• V = 1: 3Rs.

тұрақты Многогранников көлемі

қатты геометриялық кез келген басқа сияқты, тұрақты полиэдров түрлі көлемін бар. Төменде олар есептеуге болады, ол арқылы формулалар болып табылады:

• Тетраэдр: α х 3√2: 12;
• октаэдра: α х 3√2: 3;
• икосаэдре; α х 3;
• hexahedron (текше): α х 5 х 3 х (3 + √5): 12;
• он екі қырлы: α х 3 (15 + 7√5): 4.

тұрақты Многогранников элементтері

Hexahedron және октаэдра қос геометриялық органдары болып табылады. Басқаша айтқанда, олар бір Centroid басқа жоғарғы, және керісінше ретінде қабылданады жағдайда бір-бірімен шығуға мүмкін. Сондай-ақ, қос икосаэдре және он екі қырлы болып табылады. Өзі ғана тетраэдр қос болып табылады. Евклид әдісіне сәйкес текшені жүздерінен «шатырларын» салу арқылы он екі қырлы hexahedron алуға болады. тетраэдра шыңдары текшеге емес, жиегіндегі іргелес жұп кез келген 4 шыңдары болып табылады. hexahedron (текше) алынған, және басқа да тұрақты полиэдров болады. болғанына қарамастан тұрақты көпбұрыштар сансыз, тұрақты полиэдров бар, барлығы 5 бар.

тұрақты полигондарын радиусы

Осы геометриялық органдардың әрқайсысы концентрических салаларын 3 қосылған:

• шыңы арқылы өтетін сипатталған;
• оның ортасында оның қырларының әрбір қатысты жазылған;
• ортасында барлық шетіне қатысты медиана.

мынадай формула бойынша сипатталған сала радиусы есептеледі:

• R = A: 2 х тг π / г х тг θ: 2.

төмендегідей жазылған саласын радиусы есептеледі:

• R = A: 2 х ҚТГ- π / P X тг θ: 2,

онда θ - іргелес қырлары арасындағы табылады Двугранный бұрышы.

саласындағы орташа радиусы мына формуламен есептеледі болады:

• π / п COS ρ = а: 2 күнә π / сағ,

H = 4,6, 6.10, немесе 10. магнитудасы жазылған радиусы қатынасы сипатталған және симметриялы б қатысты және Q бар жерде. Ол келесідей есептеледі:

• R / R = тг π / P X тг π / Q.

Многогранников симметрия

тұрақты Многогранников симметрия осы геометриялық органдарға бастапқы қызығушылық тудырады. Бұл шыңы, қырларының мен жиектер саны бірдей қалдырады кеңістікте дененің қозғалыс ретінде түсініледі. Басқаша айтқанда, симметрия өзгерістер ықпалымен Edge, шыңы, немесе бет өзінің бастапқы ұстанымын сақтайды, немесе басқа қабырғасының бастапқы ережелер, басқа да биіктерге немесе қырларының жылжиды.

тұрақты Многогранников симметрия элементтері Геометриялық денелер барлық түрлері үшін ортақ болып табылады. Мұнда ол бастапқы қалпында нүктелерінің кез келген қалдырады жеке басын куәландыратын трансформация, жүргізіледі. Сіз қосқан кезде Сондықтан, көпбұрышты призма кейбір симметрия алуға болады. Олардың кез келген көрсету өнім ретінде ұсынылуы мүмкін. тікелей деп аталатын ойлар тіпті санының өнімі болып табылады симметрия. ол ойлар тақ санынан өнім болса, онда ол кері байланыс деп аталады. Осылайша, жолда бүкіл бұрылыстар тікелей симметрия білдіреді. Кез келген көрініс полиэдра - кері симметрия болып табылады.

жақсы тұрақты Многогранников симметрия элементтері түсіну үшін, сіз тетраэдра үлгі алуға болады. Биіктерге біріне және орталығы арқылы өтетін кез келген желісі геометриялық пішіні, орын алуы, және оған қарама-қарсы шетіне орталығы арқылы өтеді. желісі айналасында кезекпен 120 және 240 ° әрқайсысы көпше төрт қырлы симметрия тиесілі. 4 шыңы және қырларының бастап, біз сегіз тікелей симметрия жалпы алуға. шетінен ортасына және дене орталығы арқылы өтетін сызықтар Кез келген, ол қарама-қарсы шетіне ортасында арқылы өтеді. 180 ° кез келген айналуы, түзу симметрия айналасында жарты бетбұрыс деп аталатын. тетраэдр қабырғаның үш жұп бар болғандықтан, сіз симметрия үш желілерін алуға. Жоғарыда айтылғандардың негізінде, біз бұл тікелей симметрия жалпы санын жасасуға, және жеке басын куәландыратын трансформация, оның ішінде болады, он екі елшінің дейін болады. Басқа тікелей симметрия тетраэдр жоқ, бірақ ол 12 кері симметрия бар. Демек, тек 24 тетраэдр симметрия тән. Түсінікті болуы үшін, біз картоннан жасалған тұрақты тетраэдра моделін құру және оны геометриялық дене шын мәнінде тек 24 симметрия бар екенін тексеріңіз аласыз.

Додекаэдре және икосаэдре - дене аймағына жақын. Икосаэдре қырларының ең көп, диэдральный бұрышы бар және барлық ең тығыз жазылған саласындағы ажырамайды болады. Он екі қырлы шыңында ең төменгі бұрыштық ақауы ірі дене бұрышы бар. Бұл Шар толтыруға барынша мүмкін.

сканерлеу полиэдров

біз барлық бала кезінен бірге жабысып многогранники сканерлеу, ұғымдардың көп. полигондар жиынтығы бар болса, әрбір тарап многогранника тек бір тараппен анықталған, тараптардың сәйкестендіру екі шарттарын сақтауға тиіс:

• Әрбір көпбұрыштың, сіз жағында сәйкестендіру бар полигоны баруға болады;
• анықталатын жағы бірдей ұзындығы болуы тиіс.

Ол осы талаптарға сай полигондар жиынтығы болып табылады, және полиэдра сканерлеу деп аталады. осы органдардың әрқайсысы олардың бірнеше бар. Мысалы, 11 дана бар болып табылатын текше.