Ықтималдықтар теориясы. оқиғаның ықтималдығы, кездейсоқ іс-шара (ықтималдық теориясы). ықтималдықтар теориясы тәуелсіз және үйлеспейтін оқиғалар

Ол көптеген адамдар, бұл белгілі бір дәрежеде кездейсоқ оқиғалар, есептеуге болады деп ойлаймын екіталай. қарапайым сөзбен айтқанда, ол келесі жолы түседі сүйек олардың текшені жағы білу шынайы болып табылады. Ол екі ұлы ғалымдар сұрауға осы мәселе болды, бұл ғылым үшін негіз, теориясын қаланды ықтималдығы, ықтималдығын жеткілікті зерттелген, онда оқиғаның.

ұрпақ

Сіз ықтималдықтар теориясы сияқты тұжырымдамасын анықтау тырыссаңыз, біз мынадай алуға: осы кездейсоқ оқиғалардың тұрақтылығы зерттейді математика салаларының бірі болып табылады. Әлбетте, бұл ұғым шынында мәнін ашып емес, сондықтан сіз толығырақ оны қарастыру қажет.

Мен теориясының негізін қалаушылардың бастау өткім келеді. Жоғарыда айтылғандай, екі, сол болды Per Ferma және Blez Paskal. Олар оқиға нәтижесін есептеу формулаларын және математикалық есептеулерді пайдалана отырып әрекет бірінші болды. Жалпы, бұл ғылым Рудименты тіпті Орта ғасырлардағы болып табылады. Ал әр түрлі ойшылдар мен ғалымдар сүйек сияқты рулетка ретінде казино ойындар талдау тырысты, және т.б., сол арқылы үлгісін құруға, және бірқатар пайыздық шығын болды. Қор сондай-ақ жоғарыда аталған ғалымдар болды он жетiншi ғасырдың қаланды.

Бастапқыда, олардың жұмысы олар жасадық, кейін барлық, осы саладағы үлкен жетістіктер жатқызуға мүмкін емес, олар жай ғана эмпирикалық фактілер мен эксперименттер формулаларын пайдаланбай анық еді. Уақыт өте келе, ол сүйек Қақпаға бақылау нәтижесінде пайда болған, үлкен нәтижелерге қол жеткізу үшін айналды. Бұл құрал бірінші айқын формуланы алып көмектесті болып табылады.

жақтастары

«Ықтималдықтар теориясы» атымен тақырыбын зерделеу процесінде, Христиан Гюйгенс сияқты адам айтпағанның өзінде (оқиғаның ықтималдығы осы ғылым оны атап көрсетеді). Бұл адам өте қызықты болып табылады. Жоғарыда ұсынылған Ол, сондай-ақ ғалымдар кездейсоқ оқиғалардың үлгісін шығара математикалық формулалар түрінде қолданылады. Ол барлық оның жұмысы сол санасында бар жабатын емес, ол Паскаль және Ферма оны ортақ емес екенін атап өткен жөн. Гюйгенс алынған ықтималдық теориясының негізгі түсініктері.

Бір қызығы, оның жұмысы жиырма жыл бұрын, дәл болуы үшін, Пионерлер жұмыстарының нәтижелері бұрын келді. болды анықталған ұғымдар арасында ғана бар:

• ықтималдық мәндері кездейсоқ тұжырымдамасы ретінде;
• дискретті жағдайда күту;
• Сонымен мен Ықтималдықты көбейту теоремалары.

Сондай-ақ, бір-ақ мәселенің зерттеу ықпал етті Yakoba Bernulli, ұмытуға болмайды. тәуелсіз сынақтар болып табылады де олардың, өз жолымен, ол үлкен сандар заңы дәлелі қамтамасыз етуге қабілетті болды. Өз кезегінде, тоғызыншы ғасырдың басында жұмыс істеді ғалымдар Пуассон және Лаплас, бастапқы теореманы дәлелдеу үшін алдық. Сол сәттен бастап, біз ықтималдықтар теориясы пайдалана бастады бақылау қателерді талдау. Бұл ғылым айналасында Тарап алмады және ресейлік ғалымдар, орнына Марков, Чебышев және Dyapunov. Олар үлкен гениев атқарылған жұмыс негізделген, математика филиалы ретінде тақырыпты қамтамасыз. Біз ХІХ ғасырдың соңында осы көрсеткіштерді істеді, және олардың қосқан үлесі арқасында, сияқты құбылыстарды дәлелденген:

• үлкен сандар заңы;
• Тізбектерінің теориясы Марков;
• Орталық шектік теорема.

Сондықтан, ғылым және оған ықпал етті ірі тұлғаларымен туған тарихы, бәрі көп немесе аз түсінікті. Енді ол барлық фактілер аша уақыты.

негізгі ұғымдар

Сіз заңдар мен теоремаларын түртіп алдында ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері білуге тиіс. Оқиға ол басым рөл алады. Бұл тақырып өте кең, бірақ онсыз барлық қалған түсіну мүмкін болмайды.

Ықтималдықтар теориясы оқиға - ол эксперимент нәтижелерін кез келген жиынтығы. Бұл құбылыстың ұғымдар жеткілікті емес. Осылайша, осы салада жұмыс істейтін Лотман ғалым, бұл жағдайда біз не туралы айтып отырмыз деп айтты «, ол орын мүмкін емес болса да, ақталды.»

Кездейсоқ оқиғалар (ықтималдық теориясы оларға ерекше көңіл бөледі) - орын мүмкіндігі бар мүлдем кез келген құбылысты көздейді тұжырымдамасы болып табылады. Немесе, керісінше, осы сценарий жағдайында түрлі орындау мүмкін емес. Бұл жай ғана кездейсоқ оқиғалар болатын құбылыстардың бүкіл көлемін алады, сондай-ақ біле тұра тұр. Ықтималдықтар теориясы барлық жағдай тұрақты қайталануы мүмкін деп болжайды. Бұл олардың жүріс-тұрыстары «тәжірибесі» немесе деп аталатын болды отыр «сынақ».

Елеулі оқиға - осы оқиға осы тест жүз пайыз феномен болып табылады. Тиісінше, мүмкін емес іс-шара - бұл болмайды нәрсе.

жұп Action (шартты жағдайда А және іс B) біріктіру бір мезгілде орын алатын құбылыс. Олар AB деп аталады.

оқиғалар мен В жұп саны - C олардың кем дегенде бір (А немесе В) болады, егер, сіз С алуға құбылысты сипатталған формуласы C = A + В ретінде жазылған, басқа сөзбен айтқанда, болып табылады

ықтималдықтар теориясы үйлеспейтін оқиғалар екі оқиғасы өзара айрықша екенін білдіреді. Сонымен қатар, олар мүмкін емес кез келген жағдайда тұр. Ықтималдықтар теориясы бірлескен іс-шаралар - бұл олардың бір-біріне кереғар болып табылады. Импликацияларға ақталды болса, ол С тыйым салмайды, бұл

оқиғаны қарсы (ықтималдық теориясы үлкен егжей-тегжейлі, оларды қарастырады), түсінуге оңай. Бұл салыстырғанда олармен күресуге үздік болып табылады. Олар іс жүзінде ықтималдықтар теориясы үйлеспейтін әзірлемелер бірдей. Алайда, олардың айырмашылық кез келген жағдайда құбылыстардың көптеген бірі орын керек.

Тең мүмкін оқиғалар - сол іс-әрекеттер, қайталау мүмкіндігі тең. ол анық, сіз тиынды тастап елестету мүмкін: оның тараптардың бірінің жоғалуы басқа да ықтимал шығын болып табылады.

ол оқиғаны артықшылық мысалын қарастырайық оңай. тақ санынан келуімен бір өліп орама, және екінші - - Коста санының бес пайда бірінші эпизод А эпизод бар делік. Содан кейін ол А В қолайлы екен

Тәуелсіз оқиғалар Ықтималдықтар теориясының тек екі немесе одан да көп рет жобаланатын және басқа да кез келген іс-қимыл тәуелсіз тарту етіледі. Мысалы, А - шығын құйрықтарды кезінде монета тастап, B - dostavanie ұясы палубасынан. Олар Ықтималдықтар теориясының тәуелсіз оқиғалар бар. Осы сәттен бастап ол түсінікті болды.

Ықтималдықтар теориясы тәуелді оқиғалар тек олардың жиынтығы бойынша, сондай-ақ рұқсат етілген болып табылады. Олар басқа бір тәуелділігін білдіреді, бұл А өзінде керісінше, орын немесе кезде құбылыс жағдайда ғана орын алуы мүмкін, ол, ол кезде болған жоқ - Б. басты шарты

бір компоненті тұратын кездейсоқ эксперименттің нәтижесі - бұл қарапайым оқиғалар ғой. Ықтималдықтар теориясы ол тек бір рет жүргізіледі құбылыс екенін айтады.

негізгі формуласы

Жоғарыда «іс-шара», «Ықтималдықтар теориясы» түсінігі қаралды Осылайша, осы ғылым Анықтамалар негізгі терминдер, сондай-ақ берді. Енді бұл маңызды формулалармен өзін таныстыру уақыты келді. Бұл өрнектер математикалық ықтималдықтар теориясы сияқты қиын пән барлық негізгі ұғымдар расталады. оқиғаның ықтималдығы және үлкен рөл атқарады.

Better комбинаторика негізгі формулалар бастау. Сіз оларды бастамас бұрын мен, ол не екенін ескере кеткен жөн.

Комбинаторика - ең алдымен математика филиалы болып табылады, ол комбинациялары бірқатар жетекші, т.б. бүтін сандардың үлкен санын, және сандар және олардың элементтерін екі түрлі перестановок түрлі деректерді, оқып келеді ... ықтималдықтар теориясы қатар, бұл өнеркәсіп информатика және криптография, статистика үшін маңызды болып табылады.

Сондықтан енді сіз өздеріне және анықтау формулалар тұсаукесеріне арналған жылжытуға болады.

Осы алғашқы төмендегідей ол, перестановок санының білдіру болып табылады:

P_n = N ⋅ (N - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

элементтері келісімнің тәртіппен ғана ерекшеленеді, егер Equation жағдайда ғана қолданылады.

Бұл қаралатын болады сияқты Енді орналастыру формуласы, ол көрінеді:

A_n ^ м = N ⋅ (N - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ... ⋅ (N - м + 1) = N! : (N - м)!

Бұл өрнек тапсырысты орналастыру ғана элементі, сонымен қатар, оның құрамына ғана емес, қолданылады.

Үшінші комбинаторика теңдеуі, және ол соңғы болып, комбинациялар санына формуласын деп аталатын:

C_n ^ м = N! : ((N - м))! : M!

Аралас, тиісінше, тапсырыс және осы ереже қолданылатын емес, сынамаларды іріктеу, деп аталады.

комбинаторика формулалар оңай түсіну үшін келді отырып, сіз енді ықтималдық классикалық анықтамаға баруға болады. былайша Бұл білдіру ұқсайды:

N: P (A) м =.

Бұл формула, м - шарттарын саны іс-шара А бейімдейді, және N - бірдей және толық барлық элементар оқиғалар саны.

Мақалада көптеген өрнектер бар зардап шеккен, бірақ нәрсе сияқты ең маңызды болып болмақ емес қаралатын болады, мысалы, іс-шаралар ықтималдығы құрайды:

P (A + B) = P (A) + P (B) - тек қана өзара эксклюзивті оқиғалар қосу үшін осы теоремасы;

P (A + B) = P (A) + Р (В) - P (AB) - бірақ бұл тек үйлесімді қосу үшін болып табылады.

оқиғаның ықтималдығы жұмыс істейді:

P (A ⋅ В) = Р (А) ⋅ Р (В) - тәуелсіз оқиғалар үшін осы теоремасы;

(P (A ⋅ В) = Р (А) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ В) = Р (А) ⋅ P (A | B)) - және осы тәуелді үшін.

оқиғалар формула ұшты тізімі. Ықтималдықтар теориясы бізге теорема әңгімелейді осы сияқты көрінеді Байеса:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (K = 1) ^ N P (H_k) P (A | H_k)), м = 1, ..., N

Бұл формулада, H _1, H _2, ..., H _N - болжамдарын толық жиынтығы болып табылады.

Осы аялдамасында, үлгілері формулалар қолдану қазір тәжірибеде нақты міндеттер қарастырылады.

мысалдар

Сіз мұқият математика кез келген бөлімшесіне оқуға болса, онда ол жаттығулар мен үлгісі шешімдер жоқ емес. Ықтималдықтар теориясы мен: мұнда оқиғалар, мысалдар ғылыми есептеулер растайтын ажырамас құрамдас бөлігі болып табылады.

перестановок санының формуласы

Мысалы, карта палубасында номиналды бір бастап, отыз карталарды бар. Келесі мәселе. бір және екі номиналдық құны бар карточкалар жанында орналасқан жоқ, соншалықты палуба бүктеп қалай көптеген жолдары?

міндет Енді онымен күресуге көшетін, орнатылады. Біріншіден, сіз осы мақсаттар үшін біз жоғарыда формула қабылдауға, отыз элементтерін алмастыру санын анықтау үшін қажет, ол P_30 = 30 бұрылады!.

бірінші және екінші карточкасы келесі болады онда сол осы ережеге сүйене отырып, біз көптеген жолдармен палуба қиюға бар қанша нұсқалары білеміз, бірақ біз оларға шегеріледі тиіс. Бұл әрекетті орындау үшін, бірінші, екінші орналасқан нұсқаның, басталады. Бұл бірінші картасы жиырма тоғыз орындарды алуы мүмкін екен - бірінші жиырма тоғызыншы, ал отызыншы секунд екінші карточкасы, карточкалар жұп үшін жиырма тоғыз орын қосылады. Өз кезегінде, басқалары жиырма сегіз орын алып, және кез келген ретпен болады. Яғни жиырма сегіз карточкалар қайта бойынша жиырма сегіз параметрлерін P_28 = 28 бар, табылады!

нәтиже болса, біз бірінші карточкасы ⋅ 28 29 алуға екінші қосымша мүмкіндік болып табылады шешім, қарастыру болып табылады! = 29!

Сол әдісі көмегімен, сіз бірінші карта екінші астында орналасқан жағдайда артық опциялар санын есептеу керек. Сондай-ақ, ⋅ 28 29 Алынған! = 29!

Осы жылдан бастап ол қосымша параметрлер 2 ⋅ 29 деп мынадай!, палуба 30 жинау қажет құралдарын ал! - ⋅ 29 2!. Ол тек есептеу қалады.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) 29 =! ⋅ 28

Енді біз 28 арқылы 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 алынған жауап көбейтілген барлық соңында, содан кейін жиырма тоғыз бірінен бірге барлық сандардың көбейту қажет, және

шешімдер мысалдары. тұру санының формуласы

Бұл мәселені, сіз бірақ бұл тек отыз көлемі жағдайында, сөрелерде он бес көлемін қоюға жолдары бар қанша білу үшін қажет.

Бұл міндетке, алдыңғы қарағанда сәл жеңілірек шешім. қазірдің өзінде белгілі формула арқылы, ол отыз орындық он бес томдық жалпы санын есептеу қажет.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Жауап, тиісінше, 202 843 204 931 727 360 000 тең болады.

Ендігі міндет сәл астам күрделі қабылдайды. Сіз тек он бес томдық сол сөреде тұратын болады ескертпелі, сөрелерде отыз екі кітап ұйымдастыру жолдары бар қанша білу қажет.

шешім басталуы мәселелері кейбір бірнеше жолмен шешуге болады, және осы екі жолы бар, бірақ сол бір формула де қолданылады деп нақтылай келеді алдында.

онда біз сізге әртүрлі жолдармен он бес кітап үшін сөре толтыра аласыз рет санын есептелген, өйткені Бұл тапсырмада, сіз, алдыңғы бірінен жауап алуға болады. Ол A_30 айналды ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

ол он бес қалған, ал он бес кітап орналастырылған, өйткені екінші полкі, формула ауыстырулар арқылы есептеледі. Біз формула P_15 = 15 пайдаланыңыз!.

Ол сомасы қосымша, отыз алты барлық сандардың өнім соңында, он беске бірінен сандар өнім көбейтілген болады A_30 ^ 15 ⋅ P_15 жолдары, бірақ, отыз бір барлық нөмірлерді өнім шығады деп, бұл жауап шықты 30!

оңай - Бірақ бұл проблема басқаша шешілуі мүмкін. Бұл әрекетті орындау үшін, сіз отыз кітап бір сөре бар екенін елестетуге болады. Олардың барлығы осы ұшақта орналастырылған, бірақ жағдайы екі сөрелер, біз жартысында аралау бір ұзақ, екі кезек он бес бар екенін талап етеді, өйткені жатыр. Осы жылдан бастап бұл ұйымдастыру үшін P_30 = 30 болады екен!.

шешімдер мысалдары. үйлесімділігіне санының формуласы

комбинаторика үшінші нұсқа проблемалар болып саналады кім. Сіз отыздан дәл сол таңдау керек жай-күйі туралы он бес кітаптар ұйымдастыру бар қанша жолдары білу қажет.

шешу үшін, әрине, комбинациялар санына формуласын қолдануға болады. ол сол он бес кітаптар реті маңызды емес екенін анық болады деп жай-күйі бастап. Сондықтан бастапқыда сіз отыз он бес кітап үйлесімділігіне жалпы санын анықтау үшін қажет.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Осымен болды. , Тиісінше, осындай мәселені шешу үшін қысқа мерзімде, 155,117,520 тең жауап осы формуланы пайдалану.

шешімдер мысалдары. ықтималдығы классикалық анықтамасы

Жоғарыда келтірілген формула арқылы, бір қарапайым тапсырмада жауап таба аласыз. Бірақ ол анық көруге және іс-қимыл барысын қадағалауға болады.

міндет Урне он толығымен бірдей шарлар бар екенін ескере отырып. Олардың төрт сары және алты көк. урна бір доп алынған. Бұл ықтималдығы dostavaniya көк білу қажет.

ол dostavanie көк шар іс-шара А. тағайындауға қажет мәселені шешу үшін осы тәжірибе, өз кезегінде, бастауыш және тең, ең алдымен, он нәтижелерін, болуы мүмкін. Сонымен қатар, он алты А. мынадай формула шешу оқиғаға қолайлы болып табылады:

P (A) 6 =: 10 = 0,6

Осы формуланы қолдана отырып, біз көк шар dostavaniya мүмкіндігі 0,6 екенін білдік.

шешімдер мысалдары. оқиғалар сомасының ықтималдығы

Кім оқиғалар сомасының ықтималдығы формуласын пайдалана отырып шешіледі нұсқасы болады. Сондықтан, екі жағдайлары бар екенін жағдайы ескере отырып, бірінші сұр болып табылады және бес ақ шарлар, ал екінші - сегіз сұр және төрт ақ шарлар. Нәтижесінде, бірінші және екінші қораптар олардың біреуіне алды. Ол шарлар сұр және ақ болып жетіспеді мүмкіндігі не бар екенін білгіміз қажет.

Бұл мәселені шешу үшін, ол оқиғаны анықтау үшін қажет.

• P (A) = 1/6: - Осылайша, А, біз бірінші қорабының сұр доп бар.
• А - Сондай-ақ, бірінші терезесінде алынған ақ шам: P (A) = 5/6.
• Р (В) = 2/3: - қазірдің өзінде екінші құбыр сұр доп өндірді.
• B - екінші суырмасының сұр доп алды: P (B) = 1/3.

AB «немесе» Б: проблемасына сәйкес, құбылыстардың бірі болғаны қажет формуланы пайдалана отырып, біз алуға: P (AB) = 1/18, P (A'B) 10/18 =.

Енді ықтималдығын көбейту формуласы қолданылды. Келесі, жауап табу үшін, сіз қосу олардың теңдеуін қолдану қажет:

P = P (AB + A'B) = P (AB) + P (A'B) 11/18 =.

Яғни формуланы пайдалана отырып, сіз осындай проблемаларды қалай шешуге болады, ғой.

нәтиже

Қағаз «ықтималдық теориясы», маңызды рөл атқарады оқиғалардың ықтималдығы туралы ақпаратты ұсынды. Әрине, жоқ бәрі қарастырылды, бірақ ұсынылған мәтін негізінде, сіз теориялық математика осы филиалының танысуға болады. Қабылдауға ғылым кәсіби бизнес, сонымен қатар күнделікті өмірде ғана емес, пайдалы болуы мүмкін. Сіз кез келген іс мүмкіндігін есептеу үшін пайдалануға болады.

мәтін, сондай-ақ маңызды ғылым ретінде ықтималдық теориясы даму тарихында күндер, және жұмыстар оған берілді адамдардың аттары әсер етті. Яғни адам қызығушылығымен адам, тіпті кездейсоқ оқиғаларды санау үйренді фактісі әкеп соқты әдісі. олар осы жылы ғана қызықтырады, бірақ бүгін ол қазірдің өзінде барлық белгілі кейін. Және ешкім болашақта бізге не болатынын айтуға болады, тамаша басқа қандай қаралатын теориясы байланысты жаңалықтар, жасаған болады. Бірақ бір нәрсе анық: арналған - зерттеу әлі, бұл қажеті жоқ!