Гаусс: шешімдер мысалдар және арнайы жағдайлары

Сондай-ақ, көрнекті неміс ғалымы KF атындағы белгісіз айнымалылардың кезең-кезеңмен жою әдісі, деп аталатын Гаусс әдісі, Гаусс, әлі тірі бейресми атағын алды, ал «математика королі». Алайда, бұл әдіс тіпті Мен ғасырда, Еуропалық өркениеттің туған дейін көп бұрын белгілі болды. BC. е. Ежелгі қытай ғалымдары өз еңбектерінде оны пайдаланды.

Гаусс шешу классикалық жолы сызықтық алгебралық теңдеулер (Slough) жүйелері. Бұл шектеулі мөлшерін матрицасы жылдам шешу үшін өте қолайлы.

әдіс өзі екі бөлімнен тұрады: тікелей және кері. Тікелей Әрине негізгі диагональ бойынша нөлдік құны, яғни SLAE үшбұрышты нысанын көрсетілген ретін деп аталады. Терiске шығару алдыңғы арқылы әр айнымалыны білдіру, айнымалылардың дәйекті іздестіруді көздейді.

тәжірибеде қолдануға үйренеді, сандар көбейту, қосу, алу негізгі ережелерін білу Гаусс ның жеткілікті.

Осы әдіспен сызықтық жүйесін шешу үшін алгоритм көрсету үшін, біз бір мысал түсіндіру.

Сондықтан, Гаусс арқылы шешуге:

X + 2y + 4z = 3
2x + дегенде 6 + 11Z = 6
4x-2y-2Z = -6

Біз айнымалы х құтылу екінші және үшінші сызықтар қажет. Бұл үшін біз оған тиісінше -2, -4, көбейтілген бірінші қосыңыз. біз алуға:

X + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-10y-18z = -18

Енді 2-ші 5-жолда көбейту және үшінші оны қосыңыз:

X + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-3z = -18

Біз үшбұрышты түрінде біздің жүйесін әкелді. Енді біз кері жүзеге асырады. Біз соңғы сызықпен басталады:
-3z = -18,
Z = 6.

Екінші жолы:
2y + 3Z = 0
2y + = 0 18
2y = -18,
у = -9

Бірінші жолы:
X + 2y + 4z = 3
X-18 = 3 + 24
X = 18-24 + 3
X = -3

бастапқы деректер айнымалылардың мәндерін Подставляя шешімнің дұрыстығын тексеру.

Бұл мысал кез келген басқа алмастыру көп шешуге болады, бірақ жауап бірдей болуы көзделіп отыр.

Ол сондықтан бірінші жолдың жетекші элементтері тым аз құндылықтармен орналасқан жүреді. Бұл қорқынышты емес, бірақ, керісінше, есептеулерді қиындатады. ерітінді бағанда Айналмалы бар Гаусс болып табылады. Оның мәні ретінде мынадай: The бірінші желісін The барынша ұмтылды модулі элементі, The баған олардың ол орналасқан өзгерту орындар бар The 1 баған, яғни біздің барынша элементі болып The бірінші элементінің The негізгі диагональ. Келесі стандартты есептеу процесс болып табылады. Қажет болған жағдайда, рәсім кейбір жерлерде бағандар өзгереді қайталануы мүмкін.

әдісін Тағы нұсқасы Гаусс Гаусс-Иордания әдісі болып табылады.

Бұл сызықтық жүйелер квадрат, матрица және атағы (нуля деген сара желілер саны) кері матрица шешу үшін пайдаланылады.

Бұл әдістің мәні бастапқы жүйесі одан әрі анықтау айнымалылар жеке басын куәландыратын матрицада өзгерістер қайта болып табылады.

алгоритм, бұл болып табылады:

1. теңдеулер жүйесі Гаусс, үшбұрышты нысандағы әдісі ретінде, болып табылады.

2. Әрбір сызық бірлік, бас диагональ айналды осындай жолмен белгілі бір санына бөлінген.

3. Өткен жолы белгілі бір санына көбейтілген және 0 басты диагональ алу ретінде емес, сондықтан алдындағы шегеріледі.

сайып келгенде, бірлік матрицаны қалыптастыру емес дейін 4. 3-қадам барлық жолдар үшін қайталанған кезекпен болып табылады.