Сызықтық теңдеулер (Slough) жүйесін шешудің қарапайым итерация әдісі

оны нақтылау біртіндеп арқылы белгісіз құнын мәндерін табу үшін математикалық алгоритм - Қарапайым итерация әдісі, сондай-ақ, дәйекті жуықтау әдісін, деп аталады. Бұл әдістің мәні атауы білдіреді ретінде, біртіндеп, кейіннен соның бастапқы жуықтау білдіруде тазарған нәтижелері айналуда, бұл болып табылады. Бұл әдіс берілген функциясы айнымалы мәнін табу үшін пайдаланылады, және теңдеулер жүйесін, сызықтық және сызықтық емес екі шешілуде.

Осы әдіс сызықтық жүйелердің шешу жүзеге асырылады көрейік. төмендегідей тіркелген балдық итерация алгоритм болып табылады:

1. Бастапқы матрицада жинақталуының жағдайында тексеру. Түйісуін теорема: бастапқы жүйе матрицасы диагональ үстем болса (яғни, негізгі диагональ элементтерінің әрбір жол абсолютті құнының элементтері жағы диагоналы сомасынан шамасы артық болуы тиіс), қарапайым Итерация әдісі - конвергентті.

2. бастапқы жүйенің матрицалық әрқашан диагональды басым емес. Мұндай жағдайларда, жүйе айналуы мүмкін. конвергенция шартты қанағаттандыратын теңдеулер көңілі бар, өзгеріссіз қалдырды және сызықтық комбинациясы жасауға, яғни отыр алу, көбейту, қалаған нәтиже үшін бірге бүктелген теңдеуі.

басты диагональ алынған жүйесі ыңғайсыз факторлар болса, онда бұл теңдеудің екі жағынан қиғаш элементтердің белгілері белгілері сәйкес келуі тиіс _Мен * түрінде х _і, шарттарына қосылады.

3. қалыпты көрініске нәтижесінде жүйесін түрлендіру:

^{X - = β - + α *} х -

х ₂ vtorogo- беттен басқа белгісіз арқылы х ₁ Express бірінші теңдеуді tretego- т.б. _{3 х,} мынадай: Бұл, мысалы, көптеген жолдармен жасалуы мүмкін Осылайша, біз формуласын пайдаланып жатқан:

_{оператор и = - (а и /} а іі)

_I = B _I / а _II
қалыпты түріне нәтижесінде жүйе конвергенция жағдайына сәйкес келетініне қайтадан көз жеткізіңіз:

Σ (J = 1) | α _и | ≤ 1, және I = 1,2, ..., N

4. шын мәнінде, қатарынан жақындату әдісі қолданылды бастаңыз.

х ⁽⁰⁾ - бастапқы жуықтау, біз ⁽¹⁾ х ⁽²⁾ білдіруге х кейін Қол X ^{(1), білдіреміз.} Мынадай: матрицалық түрде жалпы формуласы

X ^{(N) = β - + α} * х (n- ¹⁾

біз қалаған дәлдігін жеткенше Біз, есептеу:

_{Max | х і (K) -x} і (K + 1) ≤ ε

Осылайша, іс жүзінде қарапайым итерация әдісін қарастырайық. мысал:
сызықтық жүйесін шешу:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + = 1 2.3x2-1.1x3
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 дәлдікпен ε = 10 ^-3

Модульдің қиғаш элементтері, егер басым қараңыз.

Біз конвергенция жағдайы үшінші теңдеуге қанағаттандырды деп қараңыз. біз екі қосу бірінші теңдеуі, түрлендіру бірінші және екінші:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Үшінші бір шегеруге:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Біз баламасы бастапқы жүйені айналдырды:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Енді біз қалыпты көрінісіне жүйесін азайту:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = + 0.6429x1-0.2857x3 0,4762
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Біз итерациялық процесінің жинақтылығын тексеру:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, яғни жағдайы кездеседі.

.3947
Бастапқы жуықтау X ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

қалыпты түрдегі теңдеулер осы мәндерін алмастырыңыз, біз төмендегі мәндерді алу:

0,08835
х ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

жаңа мәндерін алмастырыңыз, аламыз:

0.215243
х ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Біз сізге көрсетілген шарттарға сай құндылықтарға жақындауына дейін дейін есептеу жалғастыруда.

0,18813

х ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

х ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

нәтижелерін дұрыстығын тексеріңіз:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
= 0,9987 3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0.544
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

бастапқы теңдеу алынған мәндерін ауыстыру арқылы алынған нәтижелер, толық қанағаттандыратын теңдеуге.

Көріп отырғанымыздай, қарапайым итерация әдісі өте дәл нәтижелер береді, бірақ бұл теңдеуді шешу үшін, біз көп уақыт жұмсауға және ауқымдылығы есептеулерді жасауға мәжбүр болды.